关于斐波那契数列相邻项商的正负交替求和的极限

题目描述

斐波那契数列定义如下：

定义数列

要求考察数列和在n趋于无穷时的情况：

例如：

解答思路

1.由于正负摆动，所以想先将正负相邻两项合并消除摆动

不妨找找规律

不妨猜想：

也就是要证明：

而

即

从而有

从而有

因此猜想成立，所以

2.写出通项公式

因此，的通项公式为：

现在我们已经消除了正负号，现在我们只需证明的当n趋于无穷时收敛于一个定值a，即：

而此时自然的，由于斐波那契数列相邻两项商的极限为，因此

而结合编程已经计算出极限的近似值：
奇数项和
偶数项和
验证：

十分符合刚刚的论述！

3.证明

下面利用
由Binet公式：

其中 ,

又：
因此当n趋于无穷时趋于0，而趋于无穷
因此

因此

因此：存在N，当n>N时，使得：

因为其首项为，公比为，求和收敛性显然成立。
又N为有限数，而当n>N时，收敛
因此收敛